Determine todos os pontos do gráfico de f(x)=x^3-x que tem reta tangente com coeficiente angular 2.

Passo 1

Resumo: Temos a função ( f(x)=x^3-x), e queremos encontrar todos os pontos no gráfico onde a reta tangente tem coeficiente angular 2. O conteúdo aqui é derivada (porque a derivada em um ponto nos dá o coeficiente angular da reta tangente) e depois resolveremos uma equação simples para achar os valores de x.

Passo 2

Calcular a derivada de f: sabemos que, pela regra do poder, a derivada de x^n é n x^n-1. Assim, para f(x)=x^3-x temos
f'(x)=3x^2-1

Passo 3

Impor a condição de coeficiente angular 2: queremos f'(x)=2. Então montamos a equação
3x^2-1=2

Passo 4

Resolver para x:
3x^2-1=2
3x^2=3
x^2=1
Logo x=1 ou x=-1.

Passo 5

Encontrar as coordenadas dos pontos: basta avaliar f nesses x.
Para x=1: f(1)=1^3-1=0.
Para x=-1: f(-1)=(-1)^3-(-1)=-1+1=0.
Os pontos são (1,0) e (-1,0).

Resposta

Os pontos são (1, 0) e (-1, 0).

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