Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}\left(3 z^{2}-2 z\right) d z, onde C é z(t)=t+i t^{2}, 0 \leq t \leq 1.
\int_{C}\left(3 z^{2}-2 z\right) d z, onde C é z(t)=t+i t^{2}, 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
ao longo do contorno dado por
,
. Esse é um problema de integração de funções complexas em contorno, e podemos usar a primitiva de funções analíticas para resolver.
Passo 2
A função
é um polinômio (logo inteira), portanto admite primitiva
tal que
. Integramos termo a termo: 3z^2 dá z^3 e -2z dá -z^2. Assim,
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de funções analíticas,
Passo 4
Aqui temos
e
. Avaliando a primitiva nesses pontos:
Passo 5
Passo 6
Portanto,
Resposta
-2