Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}\left(3 z^{2}-2 z\right) d z, onde C é z(t)=t+i t^{2}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha integralC (3z^2 - 2z),dz ao longo do contorno dado por z(t)=t + i t^2, 0<= t<=1. Esse é um problema de integração de funções complexas em contorno, e podemos usar a primitiva de funções analíticas para resolver.

Passo 2

A função f(z)=3z^2-2z é um polinômio (logo inteira), portanto admite primitiva F(z) tal que F'(z)=f(z). Integramos termo a termo: 3z^2 dá z^3 e -2z dá -z^2. Assim,
F(z)=z^3 - z^2

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de funções analíticas,
integralC f(z),dz = Fl(z(1)r) - Fl(z(0)r)

Passo 4

Aqui temos z(1)=1+i e z(0)=0. Avaliando a primitiva nesses pontos:
F(1+i)=(1+i)^3 - (1+i)^2 =(-2+2i) - (2i) = -2,

Passo 5

F(0)=0

Passo 6

Portanto,
integralC (3z^2-2z),dz = -2 - 0 = -2

Resposta

-2

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