Calcule p e q de modo que o trinômio x^2+p x+q tenha uma raiz nula e um mínimo para x=3.

Passo 1

Nessa questão, temos o trinômio f(x)=x^2+px+q e queremos encontrar p e q de modo que ele tenha uma raiz em zero e apresente um mínimo em x=3. O conteúdo envolve raízes de polinômios quadráticos e propriedades do vértice de uma parábola.

Passo 2

Para que o trinômio tenha uma raiz em zero, basta que f(0)=0. Substituindo, temos f(0)=0^2+pcdot0+q=q. Logo,
q=0

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é a=1>0, a parábola abre para cima e o vértice corresponde ao ponto de mínimo. A abscissa do vértice de ax^2+bx+c é dada por xv=-tfracb2a. Aqui, b=p e queremos xv=3, então
-p2cdot1=3Longrightarrow -p2=3Longrightarrow p=-6

Resposta

p=-6 e q=0

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