Dê exemplos de funções f e g tal que
lim x x0 g(x)=0, lim x x0 f(x)g(x) existe e não é igual a 1 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos funções f e g tais que no ponto x₀ temos limxto x₀g(x)=0 mas limxto x₀f(x)g(x) exista e seja diferente de 1. O conteúdo aqui é limite de quociente de funções.

Passo 2

Uma ideia geral é observar que se g(x)to0 e definirmos f(x)=a,g(x) com a constante, então para xneq x₀ vale f(x)g(x)=a. Logo limxto x₀f(x)g(x)=a. Para que esse limite exista e seja neq1, basta escolher aneq1.

Passo 3

Concretizando no ponto x₀=0, tomemos como exemplo 1: Escolha g(x)=x e f(x)=2x. Então claramente limxto0g(x)=0 e
limxto0f(x)g(x)=limxto02xx=2neq1

Passo 4

Podemos dar outro exemplo no mesmo ponto: escolha g(x)=x^2 e f(x)=3x^2. Assim
limxto0g(x)=0, limxto0f(x)g(x)=limxto03x^2x^2=3neq1

Resposta

Dois exemplos são, no ponto x₀=0:
  1. f(x)=2x e g(x)=x, cujo limite do quociente é 2;
  2. f(x)=3x² e g(x)=x², cujo limite do quociente é 3.
    Em ambos os casos lim g(x)=0 e lim(f/g) existe e é diferente de 1.

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