Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}|z|^{2} d z, onde C é x=t^{2}, y=1 / t, 1 \leq t \leq 2.

Passo 1

A gente quer calcular a integral de linha integralC|z|^2,dz, onde o contorno C é dado por x=t^2,;y=1/t para 1<= t<=2. O conteúdo aqui é integral de linha em C, e vamos precisar usar a parametrização z(t) e a definição de integralCf(z),dz = integrala^bf(z(t))z'(t),dt.

Passo 2

Parametrizamos o contorno definindo z(t)=x(t)+i,y(t)=t^2+tfracit com tin[1,2]. Então calculamos a derivada
dz = z'(t),dt = l(2t - it^2r),dt

Passo 3

Agora precisamos de |z|^2 = x^2+y^2 = t^4 + 1t^2

Passo 4

Substituindo na integral temos
integralC|z|^2,dz = integral1^2 l(t^4 + tfrac1t^2r)l(2t - tfracit^2r)dt

Passo 5

Separamos em parte real e imaginária:
integral1^22tl(t^4+t^-2r)dt - iintegral1^2l(t^4+t^-2r)t^-2dt

Passo 6

Calculando a parte real:
integral1^22tl(t^4+t^-2r)dt = 2integral1^2l(t^5+t^-1r)dt = 2l[tfract^66 + ln tr]1^2 = 21 + 2ln2

Passo 7

Calculando a parte imaginária:
integral1^2l(t^4+t^-2r)t^-2dt = integral1^2(t^2+t^-4)dt = l[tfract^33 - tfrac13t^3r]1^2 = 218

Resposta

\displaystyle 21 + 2\ln 2 ; - ; i\frac{21}{8}

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