Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C}|z|^{2} d z, onde C é x=t^{2}, y=1 / t, 1 \leq t \leq 2.
\int_{C}|z|^{2} d z, onde C é x=t^{2}, y=1 / t, 1 \leq t \leq 2.
Passo 1
A gente quer calcular a integral de linha
, onde o contorno
é dado por
para
. O conteúdo aqui é integral de linha em
, e vamos precisar usar a parametrização
e a definição de
.
Passo 2
Parametrizamos o contorno definindo
com
. Então calculamos a derivada
Passo 3
Agora precisamos de
Passo 4
Substituindo na integral temos
Passo 5
Separamos em parte real e imaginária:
Passo 6
Calculando a parte real:
Passo 7
Calculando a parte imaginária:
Resposta
\displaystyle 21 + 2\ln 2 ; - ; i\frac{21}{8}