Sendo
, determine o valor mínimo que assume a função
.
Passo 1
A gente tem a função f dada por f(x)=
com x>0. O conteúdo aqui é cálculo de extremos usando derivada de quociente e análise de comportamento nos limites do domínio.
Passo 2
Primeiro vamos achar a derivada f′(x) aplicando a regra do quociente. Note que (4x²+8x+13)’=8x+8 e [6(x+1)]’=6. Assim:
Passo 3
Agora simplificamos o que está em parênteses:
Logo, f′(x)=0 equivale a 4x²+8x−5=0, cujas raízes são x=
=
. Como x>0, ficamos com x=
.
Passo 4
Agora a gente compara f em x=½ com os limites em 0⁺ e +∞.
E em x=½:
Passo 5
Como f(½)=2 é menor que 13/6 e os limites nos extremos do domínio são maiores, concluímos que o valor mínimo de f(x) para x>0 é 2, atingido em x=½.
Resposta
2