Sendo x>0, determine o valor mínimo que assume a função f(x)= 4 x^2+8 x+136(x+1).

Passo 1

A gente tem a função f dada por f(x)= 4x^2+8x+136(x+1) com x>0. O conteúdo aqui é cálculo de extremos usando derivada de quociente e análise de comportamento nos limites do domínio.

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada f′(x) aplicando a regra do quociente. Note que (4x²+8x+13)’=8x+8 e [6(x+1)]’=6. Assim:
f'(x)=(8x+8)cdot6(x+1)-(4x^2+8x+13)cdot6[6(x+1)]^2 =6l((8x+8)(x+1)-(4x^2+8x+13)r)[6(x+1)]^2

Passo 3

Agora simplificamos o que está em parênteses:
(8x+8)(x+1)-(4x^2+8x+13)=8x^2+16x+8-4x^2-8x-13=4x^2+8x-5
Logo, f′(x)=0 equivale a 4x²+8x−5=0, cujas raízes são x= -8pmraiz64+808= -8pm128. Como x>0, ficamos com x= tfrac12.

Passo 4

Agora a gente compara f em x=½ com os limites em 0⁺ e +∞.
limxto0^+f(x)=136approx2,167,
limxto+inftyf(x)=infty
E em x=½:
fl(tfrac12r)=4(tfrac14)+8(tfrac12)+136(1+tfrac12)=1+4+139=2

Passo 5

Como f(½)=2 é menor que 13/6 e os limites nos extremos do domínio são maiores, concluímos que o valor mínimo de f(x) para x>0 é 2, atingido em x=½.

Resposta

2

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