Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C} f(z) d z, onde f(z)=\left{
ll2, & x<0 6 x, & x>0
\right. e C é a parábola y=x^{2}, de z=-1+i a z=1+i.

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular a integral de linha integralC f(z),dz, onde f(z)=2 se x<0 e f(z)=6x se x>0, ao longo da curva C dada pela parábola y=x^2 de z=-1+i a z=1+i. O conteúdo aqui é integral de linha de função complexa, para a qual vamos precisar parametrizar a curva e usar integralC f(z),dz=integrala^b f(z(t)),z'(t),dt.

Passo 2

Parametrização de C: como C é o gráfico de y=x^2 com x variando de -1 a 1, tomamos
z(t)=t+i,t^2, tin[-1,1],
z'(t)=1+2i,t

Passo 3

Expressão da integral:
integralC f(z),dz=integral-1^1 fl(z(t)r),z'(t),dt

Passo 4

Como f depende só de x=t, dividimos em dois trechos: para t<0, f=2; para t>0, f=6t.

Passo 5

Cálculo para tin[-1,0] ( x<0 ):
integral-1^0 2l(1+2i tr),dt=2integral-1^0dt+4iintegral-1^0t,dt=2[t]-1^0+2i[t^2]-1^0=2-2i

Passo 6

Cálculo para tin[0,1] ( x>0 ):
integral0^1 6tl(1+2i tr),dt=6integral0^1t,dt+12iintegral0^1t^2,dt=3+4i

Passo 7

Soma das duas partes: ((2-2i)+(3+4i)=5+2i.\n"

Resposta

5+2i

Exercícios relacionados