Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2 x^n^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (2n)!(n!)^2,x^n^2. O conteúdo envolve séries de potências e vamos usar o teste de Cauchy–Hadamard (ou teste da raiz estendido) para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

O teste de Cauchy–Hadamard diz que, para uma série sumk ak x^k, o raio de convergência R satisfaz
1R=limsupktoinftyraiz[k]|ak|
No nosso caso só aparecem termos quando k=n^2, com an^2=(2n)!(n!)^2. Logo
1R=limsupntoinftyraiz[n^2](2n)!(n!)^2

Passo 3

Para avaliar esse limite usamos a fórmula de Stirling n!simraiz2pi n,(n/e)^n. Assim
(2n)!(n!)^2simraiz4pi n,(2n/e)^2n2pi n,(n/e)^2n=4^nraizpi n
Daí
raiz[n^2](2n)!(n!)^2simraiz[n^2]4^nraizpi n=4^1/n(pi n)^-1/(2n^2)to1

Passo 4

Como a limsup dos radicais dá 1, temos 1/R=1 e portanto R=1. Concluímos que a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Nos pontos |x|=1 os termos gerais não tendem a zero (pois (2n)!(n!)^2sim4^n/raizpi n), então diverge também em x=pm1.

Resposta

(-1,1)

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