Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar o intervalo de convergência da série de potências
. O conteúdo envolve séries de potências e vamos usar o teste de Cauchy–Hadamard (ou teste da raiz estendido) para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
O teste de Cauchy–Hadamard diz que, para uma série
, o raio de convergência
satisfaz
No nosso caso só aparecem termos quando
, com
. Logo
Passo 3
Para avaliar esse limite usamos a fórmula de Stirling
. Assim
Daí
Passo 4
Como a
dos radicais dá 1, temos
e portanto
. Concluímos que a série converge se
e diverge se
. Nos pontos
os termos gerais não tendem a zero (pois
), então diverge também em
.
Resposta
(-1,1)