Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=y(x) no ponto especificado sabendo que cada equação determina y implicitamente como função diferenciável de x
sin (x+y)=2 x ; (0, pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por sin(x+y)=2x e pede a reta tangente no ponto (0,pi). O conteúdo principal aqui é derivação implícita para encontrar dy/dx.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Como a função interna no seno é x+y(x), temos:
ddx[sin(x+y)]=ddx[2x]
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
cos(x+y)cdotl(1+dydxr)=2

Passo 3

Agora isolamos dy/dx:
cos(x+y)+cos(x+y)dydx=2
cos(x+y)dydx=2-cos(x+y)
dydx=2-cos(x+y)cos(x+y)=2cos(x+y)-1

Passo 4

Para o ponto (0,pi) calculamos cos(0+pi)=cos(pi)=-1. Assim:
dydx|(0,pi)=2-1-1=-2-1=-3

Passo 5

Com a declividade m=-3 e o ponto (0,pi), a equação da reta tangente em forma ponto-declive é:
$$
y-\pi=-3\bigl(x-0\bigr)$$
Distribuindo e isolando y-pi=-3l(x-0r), obtemos a forma explícita da reta.

Resposta

y=-3x+pi

Exercícios relacionados