Para que valores positivos de k a série sumn=1^infty (n!)^2(k n)! converge? (Use o teste da razão.)

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty (n!)^2(k n)!. O conteúdo principal aqui é o teste da razão, e vamos precisar da forma geral do termo an e do limite limntoinfty an+1/an.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (n!)^2(k n)!
Então aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = ((n+1)!)^2(k(n+1))! cdot (k n)!(n!)^2

Passo 3

Simplificando a expressão:
an+1an = (n+1)^2(k n+1)(k n+2)cdots (k n + k) = (n+1)^2prodj=1^k(k n + j)
Para n grande, cada k n + j approx k n, de modo que
prodj=1^k(k n + j) sim (k n)^k = k^k n^k

Passo 4

Aproximando o limite da razão:
limntoinftyan+1an = limntoinfty (n+1)^2k^k n^k = limntoinfty n^2k^k n^k = limntoinfty n^2-kk^k
Avaliação do limite:
  • Se k>2, então 2-k<0 e n^2-kto0, logo o limite é 0.
  • Se k=2, então n^2-k=n^0=1 e o limite vale 1/2^2=1/4<1.
  • Se k<2, então 2-k>0 e n^2-ktoinfty, logo o limite diverge para infty>1.

Passo 5

Pelo teste da razão, a série converge se o limite da razão for menor que 1 e diverge se for maior que 1. Assim, a série converge exatamente para os valores de k tais que k>=2.

Resposta

A série converge para todo valor positivo de k com k>=2.

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