Para que valores positivos de
a série
converge? (Use o teste da razão.)
Passo 1
A série dada é
. O conteúdo principal aqui é o teste da razão, e vamos precisar da forma geral do termo
e do limite
.
Passo 2
Definimos o termo geral
Então aplicamos o teste da razão, calculando
Passo 3
Simplificando a expressão:
Para
grande, cada
, de modo que
Passo 4
Aproximando o limite da razão:
Avaliação do limite:
- Se
, então e , logo o limite é 0. - Se
, então e o limite vale . - Se
, então e , logo o limite diverge para .
Passo 5
Pelo teste da razão, a série converge se o limite da razão for menor que 1 e diverge se for maior que 1. Assim, a série converge exatamente para os valores de
tais que
.
Resposta
A série converge para todo valor positivo de
com
.