Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\oint_{C} \operatorname{Re}(z) d z, onde C é a circunferência |z|=1.
\oint_{C} \operatorname{Re}(z) d z, onde C é a circunferência |z|=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a circunferência unitária
. Esse assunto faz parte de integrais de funções complexas ao longo de contornos, e aqui vamos usar a parametrização de
para transformar a integral em uma integral real.
Passo 2
Parametrizamos o contorno por
, com
variando de 0 a
. Dessa forma, temos
Passo 3
Substituindo na integral original, obtemos
Passo 4
Para facilitar a integração, usamos as identidades trigonométricas:
Passo 5
Escrevendo
e aplicando as identidades, o integrando fica
Passo 6
Agora integramos termo a termo de
a
: o termo
gera
, e os termos com
e
dão zero ao longo de um período. Logo,