Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
\oint_{C} \operatorname{Re}(z) d z, onde C é a circunferência |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral ointCRe(z),dz onde C é a circunferência unitária |z|=1. Esse assunto faz parte de integrais de funções complexas ao longo de contornos, e aqui vamos usar a parametrização de C para transformar a integral em uma integral real.

Passo 2

Parametrizamos o contorno por z(t)=e^it, com t variando de 0 a 2pi. Dessa forma, temos
dz=i,e^it,dt,Rel(z(t)r)=cos t

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
I=integral0^2piRe(z(t)),dz=integral0^2picos tl(i,e^itr),dt=iintegral0^2picos t,e^it,dt

Passo 4

Para facilitar a integração, usamos as identidades trigonométricas:
cos^2t=1+cos2t2,cos tsin t=sin2t2

Passo 5

Escrevendo cos t,e^it=cos t(cos t+isin t)=cos^2t+icos tsin t e aplicando as identidades, o integrando fica
cos^2t+icos tsin t=1+cos2t2+isin2t2

Passo 6

Agora integramos termo a termo de t=0 a 2pi: o termo 1/2 gera pi, e os termos com cos2t e sin2t dão zero ao longo de um período. Logo,
I=il(pi+0+ icdot0r)=ipi

Resposta

ipi

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