Dê exemplos de funções f e g tal que
lim x x0 g(x)=0, lim x x0 f(x)= 0 , lim x x0 f(x)g(x) não existe.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de funções f e g tais que limxto x0g(x)=0, limxto x0f(x)=0 mas limxto x0f(x)g(x) não existe. O conteúdo é limites de funções e formas indeterminadas do tipo 0/0.

Passo 2

Em limites, mesmo que f(x) e g(x) tendam a zero, a razão f(x)/g(x) pode oscilar e não ter limite. Uma ferramenta clássica para isso é usar uma função oscilante como sin(1/(x-x0)).

Passo 3

Vamos definir as funções: g(x)=x-x0 e f(x)=(x-x0)sinl(1/(x-x0)r) para xneq x0, e f(x0)=0.

Passo 4

Mostramos que limxto x0g(x)=limxto x0(x-x0)=0 e, como |sin(1/(x-x0))|<=1, temos |f(x)|=|x-x0|,|sin(1/(x-x0))|<=|x-x0|, logo limxto x0f(x)=0.

Passo 5

Calculamos a razão: f(x)g(x)=(x-x0)sinl(1/(x-x0)r)x-x0=sinl(1/(x-x0)r). Como sin(1/(x-x0)) oscila entre -1 e 1 sem se fixar num valor ao se aproximar de x0, o limite não existe.

Resposta

Por exemplo, escolha
f(x)=(x-x0)sinl(1/(x-x0)r) e g(x)=x-x0.
Então limxto x0f(x)=0, limxto x0g(x)=0, mas
limxto x0f(x)g(x)=limxto x0sinl(1/(x-x0)r)
não existe.

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