Dada a função y=x^3-3 x^2+4 x-12, determine as coordenadas do seu ponto de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto de inflexão da função y = x^3 - 3x^2 + 4x - 12. Esse é um tópico de cálculo diferencial: o ponto de inflexão ocorre quando a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada se anula e troca de sinal.

Passo 2

Para começar, calculamos a primeira derivada, que nos dá a taxa de variação da função. Derivando y = x^3 - 3x^2 + 4x - 12, obtemos y' = 3x^2 - 6x + 4.

Passo 3

Em seguida, derivamos de novo para obter a segunda derivada, que indica a concavidade da curva. Derivando y' = 3x^2 - 6x + 4, temos y'' = 6x - 6.

Passo 4

Determinamos o candidato a ponto de inflexão resolvendo y'' = 0:
6x - 6 = 0 Longrightarrow x = 1

Passo 5

Para confirmar que esse é realmente um ponto de inflexão, verificamos a mudança de sinal de y'' em torno de x = 1: para x < 1, y'' = 6x - 6 < 0 (concavidade para baixo); para x > 1, y'' = 6x - 6 > 0 (concavidade para cima). Isso confirma a inflexão.

Passo 6

Finalmente, para obter a coordenada completa, substituímos x = 1 na função original:
y(1) = 1^3 - 3cdot1^2 + 4cdot1 - 12 = 1 - 3 + 4 - 12 = -10

Passo 7

Portanto, o ponto de inflexão da curva é dado pelas coordenadas (1, -10).

Resposta

(1, -10)

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