Calcule a integral dada ao longo do contorno indicado C.
integralC 2 z d z, onde C é

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa integralC 2z,dz, onde C está parametrizado por z(t)=2t^3+i(t^4-4t^3+2), para -1<= t<=1. O conteúdo envolvido é integral de função holomorfa e usaremos primitiva para resolver.

Passo 2

A função integranda é f(z)=2z, que é inteira (analítica em todo C). Sabendo que uma primitiva de f(z) é F(z)=z^2, aplicamos o teorema fundamental da integração em funções complexas:
integralC 2z,dz = Fl(z(1)r) - Fl(z(-1)r)

Passo 3

Precisamos então calcular as imagens dos extremos do parâmetro. Para t=1:
z(1) = 2cdot1^3 + i(1^4 - 4cdot1^3 + 2) = 2 + i(-1) = 2 - i

Passo 4

Para t=-1:
z(-1) = 2(-1)^3 + i((-1)^4 - 4(-1)^3 + 2) = -2 + i(1+4+2) = -2 + 7i

Passo 5

Agora avaliamos F(z)=z^2 nesses pontos:
F(2 - i) = (2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 3 - 4i,
F(-2 + 7i) = (-2 + 7i)^2 = 4 - 28i + 49 i^2 = -45 - 28i

Passo 6

Subtraindo, obtemos:
integralC 2z,dz = (3 - 4i) - (-45 - 28i) = 48 + 24i

Resposta

48 + 24i

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