Seja
um inteiro positivo. Use uma integral de contorno complexa para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as integrais
e
são nulas usando uma integral de contorno. O conteúdo principal é a aplicação do teorema de Cauchy para contornos fechados, Euler para converter seno e cosseno em exponenciais complexas, e a parametrização
.
Passo 2
Vamos juntar
e
numa única integral complexa, percebendo que elas são parte real e imaginária de
Passo 3
Aplicamos Euler e reagrupamos o expoente:
Passo 4
Como
e
, faz-se
Passo 5
Então
Passo 6
Agora parametrizamos o contorno unitário:
,
ou
. Substituindo,
Passo 7
A função
é inteira (analítica em todo
), então pelo teorema de Cauchy a integral em contorno fecha-se em zero. Dessa forma
.
Como e
, conclui-se que ambas as integrais são zero.
Como
Resposta
0 e 0