Seja n um inteiro positivo. Use uma integral de contorno complexa para mostrar que
integral0^2 pi e^sen n theta cos (theta-cos n theta) d theta e integral0^2 pi e^sen n theta sen(theta-cos n theta) d theta=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as integrais I1=integral0^2 pi e^sin(ntheta)cosl(theta-cos(ntheta)r),dtheta e I2=integral0^2 pi e^sin(ntheta)sinl(theta-cos(ntheta)r),dtheta são nulas usando uma integral de contorno. O conteúdo principal é a aplicação do teorema de Cauchy para contornos fechados, Euler para converter seno e cosseno em exponenciais complexas, e a parametrização z=e^itheta.

Passo 2

Vamos juntar I1 e I2 numa única integral complexa, percebendo que elas são parte real e imaginária de
I=integral0^2pie^sin(ntheta),e^il(theta-cos(ntheta)r),dtheta

Passo 3

Aplicamos Euler e reagrupamos o expoente:
e^sin(ntheta),e^-icos(ntheta)=e^sin(ntheta)-icos(ntheta)

Passo 4

Como sin(ntheta)=e^intheta-e^-intheta2i e cos(ntheta)=e^intheta+e^-intheta2, faz-se
sin(ntheta)-icos(ntheta)=-i,e^i ntheta,logo
e^sin(ntheta),e^-icos(ntheta)=e^-i e^intheta

Passo 5

Então
I=integral0^2pie^ithetae^-i e^i ntheta,dtheta

Passo 6

Agora parametrizamos o contorno unitário: z=e^itheta, dz=i z,dtheta ou dtheta=dz/(iz). Substituindo,
I=integral|z|=1z,e^-i z^ndziz=1iintegral|z|=1e^-i z^n,dz

Passo 7

A função e^-i z^n é inteira (analítica em todo C), então pelo teorema de Cauchy a integral em contorno fecha-se em zero. Dessa forma I=0.
Como I1=Re(I) e I2=Im(I), conclui-se que ambas as integrais são zero.

Resposta

0 e 0

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