Passo 1

O enunciado dá a EDO (1+x^2)y' + x y = -(1+x^2)^5/2. É uma equação diferencial linear de 1ª ordem; vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividimos tudo por (1+x^2) para escrever na forma padrão:
y' + x1+x^2,y = -(1+x^2)^3/2
Aqui P(x)=x1+x^2 e Q(x)=-(1+x^2)^3/2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral x1+x^2,dxr)=expl(tfrac12ln(1+x^2)r)=raiz1+x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x) e vemos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
ddxl(raiz1+x^2,yr)=raiz1+x^2cdotl[-(1+x^2)^3/2r]=-(1+x^2)^2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
raiz1+x^2,y=-integral(1+x^2)^2,dx + C
Para a integral,
integral(1+x^2)^2dx=integrall(1+2x^2+x^4r)dx=x+23x^3+15x^5

Passo 6

Isolando y, obtemos
y(x)=-l(x+tfrac23x^3+tfrac15x^5r)+Craiz1+x^2

Resposta

y(x)=\frac{C - x - \tfrac{2}{3}x^3 - \tfrac{1}{5}x5}{\sqrt{1+x2}}

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