Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
que cai no conteúdo de ODEs de variáveis (ou formas) que podemos manipular para reduzir a um caso separável.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma diferencial:
Observe que não é exata de cara, mas podemos notar o termo
junto com
é parte de
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Multiplicando a equação original por
aparece exatamente
.
Passo 4
Multiplicando por
e reescrevendo usamos
:
Substituindo
e
obtemos
que é agora separável.
Passo 5
Separamos variáveis em
:
Fazemos frações parciais:
e integramos:
Passo 6
Resolvendo para
:
onde
. Isolando
dá
Passo 7
Finalmente voltamos à variável original
, lembrando
:
Passo 8
Essa é a família geral de soluções implícita em termos da constante arbitrária
.
Resposta
y = \pm\sqrt{\nfrac{K e^x}{x(1 + 6K e^x)}} , \quad K \in \mathbb{R}