Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
yl(6x^2y^2 - x + 1r) + 2x,y' = 0,
que cai no conteúdo de ODEs de variáveis (ou formas) que podemos manipular para reduzir a um caso separável.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma diferencial:
yl(6x^2y^2 - x + 1r),dx + 2x,dy = 0
Observe que não é exata de cara, mas podemos notar o termo 2x,dy junto com y^2 é parte de d(xy^2).

Passo 3

Calculamos a derivada de xy^2:
ddx(xy^2) = y^2 + 2x y y'
Multiplicando a equação original por y aparece exatamente 2xyy' + y^2.

Passo 4

Multiplicando por y e reescrevendo usamos u = x y^2:
2x y y' + y^2 + 6x^2y^4 - xy^2 = 0 Longrightarrow ddx(xy^2) + 6x^2y^4 - x y^2 = 0
Substituindo y^2 = u/x e y^4 = u^2/x^2 obtemos
u' + 6u^2 - u = 0,
que é agora separável.

Passo 5

Separamos variáveis em u' = du/dx:
duu(1 - 6u) = dx
Fazemos frações parciais:
1u(1 - 6u) = 1u + 61 - 6u,
e integramos:
integralduu + integral6,du1 - 6u = integral dx Longrightarrow ln|u| - ln|1 - 6u| = x + C

Passo 6

Resolvendo para u:
lnu1 - 6u = x + C Longrightarrow u1 - 6u = K e^x,
onde K = e^C. Isolando u
u = K e^x1 + 6K e^x

Passo 7

Finalmente voltamos à variável original y, lembrando u = x y^2:
x y^2 = K e^x1 + 6K e^x Longrightarrow y^2 = K e^xxl(1 + 6K e^xr) Longrightarrow y = pmraizK e^xx(1 + 6K e^x)

Passo 8

Essa é a família geral de soluções implícita em termos da constante arbitrária K.

Resposta

y = \pm\sqrt{\nfrac{K e^x}{x(1 + 6K e^x)}} , \quad K \in \mathbb{R}

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