Calcule a integral dada ao longo do contorno indicado C.
integralC 2 z d z, onde C é z(t)=2 cos ^3 pi t-i sen^2 pi4 t, 0 <= t <= 2

Passo 1

Temos a integral integralC2z,dz, em que a curva C é dada pela parametrização
z(t)=2cos^3(pi t)-isin^2l(tfracpi4tr), 0<= t<=2 O conteúdo é integração de funções complexas. Vamos usar o fato de que se f(z) for holomórfica então existe uma primitiva F(z) tal que integralCf(z),dz=F(z(b))-F(z(a)).

Passo 2

Observamos que f(z)=2z é holomórfica em todo C e uma primitiva é F(z)=z^2, pois F'(z)=2z. Logo,
integralC2z,dz=Fl(z(2)r)-Fl(z(0)r)=l(z(2)r)^2-l(z(0)r)^2

Passo 3

Calculemos os extremos da parametrização:
z(0)=2cos^3(0)-isin^2(0)=2,
z(2)=2cos^3(2pi)-isin^2l(tfracpi4cdot2r)=2-i

Passo 4

Substituindo na primitiva, temos
(z(2))^2=(2-i)^2=3-4i,
(z(0))^2=2^2=4, então
integralC2z,dz=(3-4i)-4=-1-4i

Resposta

-1-4i

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