Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função polinomial complexa de
(-2i) até 1, usando o Teorema 5.4.2 (equivalente ao Teorema Fundamental do Cálculo para integrais complexas). Como 3z²–4z+5i é inteira, a integral independe do caminho e basta achar uma primitiva F(z).
(-2i) até 1, usando o Teorema 5.4.2 (equivalente ao Teorema Fundamental do Cálculo para integrais complexas). Como 3z²–4z+5i é inteira, a integral independe do caminho e basta achar uma primitiva F(z).
Passo 2
Vamos integrar termo a termo para achar a primitiva F(z). Integramos 3z², –4z e 5i:
De ∫3z² dz obtemos z³;
De ∫(–4z) dz obtemos –2z²;
De ∫5i dz obtemos 5i z.
Logo,
Passo 3
Agora avaliamos F em 1 e em –2i:
Para z=1:
Para z=-2i:
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental, a integral vale F(1)–F(-2i):
Passo 5
Escrevendo na forma a+ib, obtemos –19–3i.
Resposta
-19 - 3i