Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função polinomial complexa de
(-2i) até 1, usando o Teorema 5.4.2 (equivalente ao Teorema Fundamental do Cálculo para integrais complexas). Como 3z²–4z+5i é inteira, a integral independe do caminho e basta achar uma primitiva F(z).

Passo 2

Vamos integrar termo a termo para achar a primitiva F(z). Integramos 3z², –4z e 5i:
De ∫3z² dz obtemos z³;
De ∫(–4z) dz obtemos –2z²;
De ∫5i dz obtemos 5i z.
Logo,
F(z)=z^3-2z^2+5i z+C

Passo 3

Agora avaliamos F em 1 e em –2i:
Para z=1:
F(1)=1^3-2·1^2+5i·1=-1+5i
Para z=-2i:
F(-2i)=(-2i)^3-2(-2i)^2+5i(-2i)=8i+8+10=18+8i

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental, a integral vale F(1)–F(-2i):
igl(-1+5iigr)-igl(18+8iigr)=-19-3i 

Passo 5

Escrevendo na forma a+ib, obtemos –19–3i.

Resposta

-19 - 3i

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