Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integral0^3+i z^2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função analítica entre dois pontos no plano complexo. Aqui vamos usar o Teorema 5.4.2 (Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de funções analíticas). O conteúdo é integrais de funções holomorfas e precisaremos da antiderivada de z^2.

Passo 2

Como z^2 é polinomial, ela é holomorfa em todo C. Uma antiderivada é dada por:
F(z)=z^33

Passo 3

Pelo Teorema 5.4.2, temos
integral0^3+iz^2,dz = F(3+i)-F(0) = (3+i)^33 - 0

Passo 4

Agora é só expandir (3+i)^3 e dividir por 3. Primeiro:
(3+i)^2 = 9 + 6i + i^2 = 8 + 6i
Depois:
(3+i)^3 = (3+i)cdot(8+6i) = 24 + 18i + 8i + 6i^2 = 18 + 26i
Dividindo por 3:
(3+i)^33 = 6 + 263i

Resposta

6 + \frac{26}{3}i

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