Calcule a integral dada utilizando a mudança de coordenada para coordenadas polares
integral duplaB x^2 d x d y em que B=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaB x^2,dx,dy
no anel definido por
B = (x,y)inR^2mid 1 <= x^2+y^2 <= 4
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, onde usaremos x = rcostheta, y = rsintheta e o fator de Jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas polares, a região B torna-se
1 <= r^2<= 4 Longrightarrow 1 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi
A função x^2 vira (rcostheta)^2=r^2cos^2theta e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta.

Passo 3

Assim, a integral original se transforma em
integral duplaB x^2,dx,dy = integral0^2pi!integral1^2 l(r^2cos^2thetar),r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral1^2 r^3cos^2theta ,dr,dtheta
Como o integrando se separa em função de r e função de theta, podemos escrever
integral0^2picos^2theta,dtheta ;times; integral1^2r^3,dr

Passo 4

Calculemos primeiro a parte radial:
integral1^2r^3,dr = [r^44]1^2 = 2^4-1^44 = 16-14 = 154

Passo 5

Agora a parte angular:
integral0^2picos^2theta,dtheta = pi,
pois sabemos que a média de cos^2theta em um período é 1/2, e 2pitimes12=pi.

Passo 6

Multiplicando os dois resultados:
integral duplaB x^2,dx,dy = (integral0^2picos^2theta,dtheta) !(integral1^2r^3,dr) = pi times 154 = 15pi4

Resposta

15pi4

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