Calcule a integral dada utilizando a mudança de coordenada para coordenadas polares
em que
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no anel definido por
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, onde usaremos
,
e o fator de Jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas polares, a região
torna-se
A função
vira
e o elemento de área
vira
.
Passo 3
Assim, a integral original se transforma em
Como o integrando se separa em função de
e função de
, podemos escrever
Passo 4
Calculemos primeiro a parte radial:
Passo 5
Agora a parte angular:
pois sabemos que a média de
em um período é
, e
.
Passo 6
Multiplicando os dois resultados: