Identifique como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as seguintes afirmativas, justificando suas respostas:
( ) ( 10 p t s) lim x 1^+(1ln x-1x-1)=12.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1^+l(1ln x-1x-1r)
que é do tipo “ infty-infty”. O conteúdo aqui é manipular essa diferença de frações e usar a expansão de Taylor de ln x em torno de x=1.

Passo 2

Colocamos as duas parcelas sob um único denominador:
1ln x-1x-1 =x-1-ln x(x-1),ln x,

Passo 3

Para xto1 seja h=x-1; então hto0^+ e
ln x=ln(1+h)=h-tfrach^22+O(h^3)
Logo o numerador fica
x-1-ln x =h-l(h-tfrach^22+O(h^3)r) =tfrach^22+O(h^3),
e o denominador
(x-1),ln x =hl(h-tfrach^22+O(h^3)r) =h^2+O(h^3)
Assim,
x-1-ln x(x-1)ln x =tfrach^22+O(h^3)h^2+O(h^3) stackrelhto0longrightarrow12

Passo 4

Concluímos que
limxto1^+l(1ln x-1x-1r) =12

Resposta

V – o limite vale tfrac12.

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