O valor médio de uma função contínua f(x, y) em um retângulo R=[a, b] times[c, d] é definido como
fm=1A(R) integralegral duplaR f(x, y) d A
onde A(R)=(b-a)(d-c) é a área do retângulo R (comparar com a Definição 5.8.1, do Volume 1). Use essa definição nestes exercícios.
Calcule o valor médio de f(x, y)=x(x^2+y)^1 / 2 no intervalo [0,1] times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de uma função contínua f(x,y)=xraizx^2+y num retângulo
R=[0,1]times[0,3]
Pelo enunciado, usamos a definição
fm =1A(R)integral duplaRf(x,y),dA,
onde
A(R)=(1-0),(3-0)=3

Passo 2

Escrevemos então
fm =13 integralx=0^1integraly=0^3xraizx^2+y;dy,dx

Passo 3

Para a integral interna em y temos
integral0^3xraizx^2+y;dy =xintegral0^3(x^2+y)^tfrac12dy
Fazendo u=x^2+y, du=dy, quando y=0 vem u=x^2 e quando y=3 vem u=x^2+3. Assim
integral0^3(x^2+y)^tfrac12dy =integralu=x^2^x^2+3u^tfrac12du =l[tfrac23u^tfrac32r]x^2^,x^2+3 =23l((x^2+3)^tfrac32-x^3r)
Multiplicando por x
integral0^3xraizx^2+y,dy =2x3l((x^2+3)^tfrac32-x^3r)

Passo 4

Substituindo na integral em x obtemos
fm =13integral0^12x3l((x^2+3)^tfrac32-x^3r)dx =29integral0^1l[x(x^2+3)^tfrac32-x^4r]dx

Passo 5

Calculemos separadamente
I1=integral0^1x(x^2+3)^tfrac32dx
De novo fazemos w=x^2+3, dw=2x,dx, w(0)=3, w(1)=4. Então
I1 =integralw=3^4w^tfrac32dw2 =12l[tfrac25w^tfrac52r]3^4 =15l(4^tfrac52-3^tfrac52r) =15l(32-9raiz3r)

Passo 6

E
I2=integral0^1x^4,dx =l[tfracx^55r]0^1 =15

Passo 7

Logo
integral0^1l[x(x^2+3)^tfrac32-x^4r]dx =I1-I2 =15l(32-9raiz3r)-15 =15l(31-9raiz3r)
Assim
fm =29cdot15l(31-9raiz3r) =62-18raiz345

Resposta

fm=62-18raiz345

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