O valor médio de uma função contínua f(x, y) em um retângulo R=[a, b] times[c, d] é definido como
fm=1A(R) integralegral duplaR f(x, y) d A
onde A(R)=(b-a)(d-c) é a área do retângulo R (comparar com a Definição 5.8.1, do Volume 1). Use essa definição nestes exercícios.
Calcule o valor médio de f(x, y)=y sen x y no retângulo [0,1] times[0, pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor médio de
f(x,y)=ysen(xy)
no retângulo R=[0,1]times[0,pi/2]. O conteúdo é o cálculo de valor médio de uma função contínua em um retângulo, usando a definição
fm=1A(R)integral duplaRf(x,y),dA,
onde A(R)=(b-a)(d-c).

Passo 2

Primeiro calculamos a área de R:
A(R)=(1-0)l(tfracpi2-0r)=pi2
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fm =1A(R) integralx=0^1 integraly=0^pi/2 ysen(xy),dy,dx =2pi integral0^1!!integral0^pi/2ysen(xy),dy,dx

Passo 3

Vamos integrar primeiro em x. Para cada y fixo,
integral0^1ysen(xy),dx =yintegral0^1sen(xy),dx
Use u=xy, então du=y,dx e x=0to u=0,;x=1to u=y. Assim,
integral0^1sen(xy),dx =1yintegral0^ysen u,du =1yl[-cos ur]0^y =1-cos yy
Multiplicando por y
integral0^1ysen(xy),dx=1-cos y

Passo 4

Substituindo no valor médio, sobra
fm =2pi integral0^pi/2l(1-cos yr),dy

Passo 5

Agora calculemos
integral0^pi/21,dy=pi2, integral0^pi/2cos y,dy=l[sen yr]0^pi/2=1
Portanto
integral0^pi/2l(1-cos yr),dy =pi2-1,
e
fm =2pil(pi2-1r) =1-2pi

Resposta

O valor médio é
fm=1-2pi

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