Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.
integral[(x-1)^5+3(x-1)^2+
5] d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
,(x-1)^5+3(x-1)^2+5.
O conteúdo é integração de soma de potências, e vamos usar a regra de potência e a linearidade da integral.

Passo 2

Fazemos a substituição para simplificar a integração: seja ,u = x-1. Então ,du = dx e a integral vira
integrall((x-1)^5+3(x-1)^2+5r),dx = integrall(u^5+3u^2+5r),du

Passo 3

Aplicando a regra de potência termo a termo,
integral u^5,du = u^66, integral 3u^2,du = 3cdotu^33 = u^3, integral 5,du = 5u
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(u) = u^66 + u^3 + 5u + C
Voltando a variável x ( u = x-1),
F(x) = (x-1)^66 + (x-1)^3 + 5(x-1) + C

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = ddx!l[tfrac(x-1)^66r] + ddx!l[(x-1)^3r] + ddx!l[5(x-1)r] + dCdx
;=;(x-1)^5 + 3(x-1)^2 + 5 + 0 ;=;(x-1)^5 + 3(x-1)^2 + 5,
que é exatamente o integrando, confirmando que o resultado está correto.

Resposta

boxed integrall[(x-1)^5+3(x-1)^2+5r],dx = (x-1)^66 ;+;(x-1)^3;+;5(x-1);+;C

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