Considere a função real de duas variáveis reais f dada por
f(x, y)=-raiz9-x^2-y^2
As funções partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (-3,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) = -raiz9 - x^2 - y^2 . A pergunta é para verificar se as derivadas parciais dessa função, ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y , são contínuas no ponto (-3, 0). Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais e o que significa uma função ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e a y . Lembre-se que uma derivada parcial mede como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Para partial fpartial x :
f(x, y) = -raiz9 - x^2 - y^2
Aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = -12(9 - x^2 - y^2)^-1/2 cdot (-2x) = xraiz9 - x^2 - y^2
Para partial fpartial y :
partial fpartial y = -12(9 - x^2 - y^2)^-1/2 cdot (-2y) = yraiz9 - x^2 - y^2

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no ponto (-3, 0). Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função no ponto.
Vamos analisar o denominador das derivadas:
raiz9 - x^2 - y^2
Para que as derivadas sejam contínuas, o denominador não pode ser zero, porque isso tornaria a expressão indefinida (divisão por zero não é permitida). Então, precisamos garantir que:
9 - x^2 - y^2 > 0
No ponto (-3, 0):
9 - (-3)^2 - 0^2 = 9 - 9 - 0 = 0
O denominador se anula, o que significa que as derivadas parciais não estão definidas nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y não são contínuas em (-3, 0), pois o denominador nas expressões das derivadas se anula nesse ponto, tornando-as indefinidas.

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