Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
As funções
e
são contínuas em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
. A pergunta é para verificar se as derivadas parciais dessa função, ou seja,
e
, são contínuas no ponto
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais e o que significa uma função ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Lembre-se que uma derivada parcial mede como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Para
:
Aplicamos a regra da cadeia:
Para
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas no ponto
. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função no ponto.
Vamos analisar o denominador das derivadas:
Para que as derivadas sejam contínuas, o denominador não pode ser zero, porque isso tornaria a expressão indefinida (divisão por zero não é permitida). Então, precisamos garantir que:
No ponto
:
O denominador se anula, o que significa que as derivadas parciais não estão definidas nesse ponto.
Resposta
As derivadas parciais
e
não são contínuas em
, pois o denominador nas expressões das derivadas se anula nesse ponto, tornando-as indefinidas.