Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis
e precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso envolve calcular as derivadas em relação a
e
duas vezes. Pra isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Lembra que pra derivar uma função em relação a
, tratamos
como uma constante. A função é
, que pode ser reescrita como
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
novamente.
A gente tem
. Vamos usar a regra do quociente para derivar isso.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
De forma simplificada, a segunda derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Fazendo um processo semelhante ao que fizemos para
:
Passo 8
Em seguida, encontramos a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do quociente:
Passo 9
Por fim, também precisamos das derivadas cruzadas
e
. Derivando
em relação a
:
E, por simetria,
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: