Considere a função real de duas variáveis reais f dada por
f(x, y)=-raiz9-x^2-y^2
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis f(x, y) = -raiz9 - x^2 - y^2 e precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso envolve calcular as derivadas em relação a x e y duas vezes. Pra isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de f em relação a x , que a gente chama de fx . Lembra que pra derivar uma função em relação a x , tratamos y como uma constante. A função é f(x, y) = -raiz9 - x^2 - y^2 , que pode ser reescrita como f(x, y) = -(9 - x^2 - y^2)^1/2 .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivar f em relação a x :
fx = -12(9 - x^2 - y^2)^-1/2 cdot (-2x) = xraiz9 - x^2 - y^2
Então, fx = dfracxraiz9 - x^2 - y^2 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de f em relação a x , ou seja, fxx . Isso significa que vamos derivar fx em relação a x novamente.
A gente tem fx = dfracxraiz9 - x^2 - y^2 . Vamos usar a regra do quociente para derivar isso.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

De forma simplificada, a segunda derivada parcial de f em relação a x é:
fxx = dfrac9 - y^2(9 - x^2 - y^2)^3/2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , que é fy . Fazendo um processo semelhante ao que fizemos para fx :
fy = dfracyraiz9 - x^2 - y^2

Passo 8

Em seguida, encontramos a segunda derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fyy . Novamente, usamos a regra do quociente:
fyy = 9 - x^2(9 - x^2 - y^2)^3/2

Passo 9

Por fim, também precisamos das derivadas cruzadas fxy e fyx . Derivando fx = dfracxraiz9 - x^2 - y^2 em relação a y :
fxy = dfracxy(9 - x^2 - y^2)^3/2
E, por simetria, fyx = fxy .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função f são:
fxx = dfrac9 - y^2(9 - x^2 - y^2)^3/2, fyy = dfrac9 - x^2(9 - x^2 - y^2)^3/2, fxy = fyx = dfracxy(9 - x^2 - y^2)^3/2

Exercícios relacionados