Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais definidas que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e técnicas de integração, como a linearidade da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que pode ser expandido usando a fórmula de identidade trigonométrica para o cosseno da diferença:
Isso nos ajuda a separar a função em partes mais fáceis de integrar.
Passo 3
Substituindo a identidade trigonométrica na integral original, temos:
Podemos agora distribuir a exponencial dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos resolver as duas integrais separadamente. Essas integrais são exemplos de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, e temos fórmulas padrão para resolvê-las.
Para a primeira integral:
E para a segunda integral:
Passo 5
Aplicando essas soluções às integrais definidas de 0 a , temos:
Vamos calcular os valores nos limites.
Passo 6
Primeiro, para a parte com cos t:
e^-t (cos t + sin t) - (e^0 (cos 0 + sin 0))2 = e^-t (cos t + sin t) - 12
E para a parte com sin t:
e^-t (sin t - cos t) - (e^0 (sin 0 - cos 0))2 = e^-t (sin t - cos t) + 12
Passo 7
Agora, juntando essas duas partes:
cos t cdot e^-t (cos t + sin t) - 12 + sin t cdot e^-t (sin t - cos t) + 12
Vamos distribuir os multiplicadores:
cos t cdot e^-t (cos t + sin t) - cos t + sin t cdot e^-t (sin t - cos t) + sin t2
Passo 8
Simplificando os termos:
e^-t (cos^2 t + cos t sin t + sin^2 t - cos t sin t) - cos t + sin t2
Observe que cos t sin t - cos t sin t = 0 e cos^2 t + sin^2 t = 1 :