^[p] Calcule a integral definida:
integral0^t e^-x cos (t-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^t e^-x cos (t-x) , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais definidas que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e técnicas de integração, como a linearidade da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que cos(t - x) pode ser expandido usando a fórmula de identidade trigonométrica para o cosseno da diferença:
cos(t - x) = cos t cos x + sin t sin x
Isso nos ajuda a separar a função em partes mais fáceis de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade trigonométrica na integral original, temos:
integral0^t e^-x cos(t - x) , dx = integral0^t e^-x (cos t cos x + sin t sin x) , dx
Podemos agora distribuir a exponencial dentro dos parênteses:
= cos t integral0^t e^-x cos x , dx + sin t integral0^t e^-x sin x , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver as duas integrais separadamente. Essas integrais são exemplos de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, e temos fórmulas padrão para resolvê-las.
Para a primeira integral:
integral e^-x cos x , dx = e^-x (cos x + sin x)2
E para a segunda integral:
integral e^-x sin x , dx = e^-x (sin x - cos x)2

Passo 5

Aplicando essas soluções às integrais definidas de 0 a t, temos:
cos t [ e^-x (cos x + sin x)2 |0^t ] + sin t [ e^-x (sin x - cos x)2 |0^t ]
Vamos calcular os valores nos limites.

Passo 6

Primeiro, para a parte com cos t:
e^-t (cos t + sin t) - (e^0 (cos 0 + sin 0))2 = e^-t (cos t + sin t) - 12
E para a parte com sin t:
e^-t (sin t - cos t) - (e^0 (sin 0 - cos 0))2 = e^-t (sin t - cos t) + 12

Passo 7

Agora, juntando essas duas partes:
cos t cdot e^-t (cos t + sin t) - 12 + sin t cdot e^-t (sin t - cos t) + 12
Vamos distribuir os multiplicadores:
cos t cdot e^-t (cos t + sin t) - cos t + sin t cdot e^-t (sin t - cos t) + sin t2

Passo 8

Simplificando os termos:
e^-t (cos^2 t + cos t sin t + sin^2 t - cos t sin t) - cos t + sin t2
Observe que cos t sin t - cos t sin t = 0 e cos^2 t + sin^2 t = 1 :
e^-t cdot 1 - cos t + sin t2

Passo 9

Finalmente, simplificando a expressão:
e^-t - cos t + sin t2

Resposta

A integral definida é igual a:
e^-t - cos t + sin t2

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