Para a função faça:
(f) determine se existem assíntotas verticais e horizontais;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente veja se ela tem assíntotas verticais (pontos de descontinuidade onde ) e assíntotas horizontais (retas com ). Vamos usar definição de domínio para verticais e limites no infinito para horizontais.
Passo 2
Verificar assíntotas verticais: a função é produto de polinômio e exponencial, ambos definidos em todo . Logo, o domínio é inteiro e não há pontos onde estoure para infinito por falta de definição. Portanto não existem assíntotas verticais.
Passo 3
Calcular a assíntota horizontal em :
Como cresce muito mais rápido que , o fator domina e faz o produto tender a zero. Formalmente, por exemplo, usando l’Hôpital em dá
Logo existe assíntota horizontal
y=0
quando xto+infty.
Passo 4
Calcular o comportamento em -infty:
limxto-infty x e^-x = limxto-inftyxe^x
Aqui e^xto0^+ e xto-infty, de modo que a fração tende a -infty. Não há reta horizontal nesse lado porque o valor da função explode negativamente.
Resposta
Não há assíntotas verticais. Há uma assíntota horizontal
y=0
apenas quando xto+infty; para xto-infty não existe assíntota horizontal.