Para a função f(x)=x e^-x faça:
(f) determine se existem assíntotas verticais e horizontais;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x e^-x
e pede que a gente veja se ela tem assíntotas verticais (pontos de descontinuidade onde f(x)topminfty) e assíntotas horizontais (retas y=L com limxtopminftyf(x)=L). Vamos usar definição de domínio para verticais e limites no infinito para horizontais.

Passo 2

Verificar assíntotas verticais: a função f(x)=x e^-x é produto de polinômio e exponencial, ambos definidos em todo R. Logo, o domínio é R inteiro e não há pontos onde f estoure para infinito por falta de definição. Portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Calcular a assíntota horizontal em +infty:
limxto+infty x e^-x
Como e^x cresce muito mais rápido que x, o fator e^-x=1/e^x domina e faz o produto tender a zero. Formalmente, por exemplo, usando l’Hôpital em
xe^x
limxto+inftyxe^x ;xrightarrowl'H^op; limxto+infty1e^x =0
Logo existe assíntota horizontal
y=0
quando xto+infty.

Passo 4

Calcular o comportamento em -infty:
limxto-infty x e^-x = limxto-inftyxe^x
Aqui e^xto0^+ e xto-infty, de modo que a fração tende a -infty. Não há reta horizontal nesse lado porque o valor da função explode negativamente.

Resposta

Não há assíntotas verticais. Há uma assíntota horizontal
y=0
apenas quando xto+infty; para xto-infty não existe assíntota horizontal.

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