Supondo que r(t)=(t^4, t, t^2), determine r^prime(t), r prime(t) e r^prime(t) times r prime(t).

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
r(t)=l(t^4,,t,,t^2r)
e pede (i) a primeira derivada r'(t), (ii) a segunda derivada r''(t) e (iii) o produto vetorial r'(t)timesr''(t). Vamos usar regras de derivação componente a componente e a definição de determinante para o produto vetorial.

Passo 2

Para obter r'(t), derivamos cada componente de r(t):
r'(t) = l((t^4)',,(t)',,(t^2)'r) = l(4t^3,,1,,2tr)

Passo 3

Para obter r''(t), derivamos componente a componente de r'(t):
r''(t) = l((4t^3)',,(1)',,(2t)'r) = l(12t^2,,0,,2r)

Passo 4

Para calcular o produto vetorial r'(t)timesr''(t), usamos o determinante
r'(t)timesr''(t) = i & j & k 4t^3 & 1 & 2t 12t^2 & 0 & 2
que dá, desenvolvendo pela primeira linha,
r'(t)timesr''(t) = l(1cdot2 - 2tcdot0,; - l(4t^3cdot2 - 2tcdot12t^2r),; 4t^3cdot0 - 1cdot12t^2r) = l(2,;16t^3,;-12t^2r)

Resposta

r'(t) = (4t^3,,1,,2t)
r''(t) = (12t^2,,0,,2)
r'(t)timesr''(t) = (2,,16t^3,,-12t^2)

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