[2 p] Determine o domínio da função racional
f(x)=x^2+13 x-x^2
e mostre que f é uma função contínua e positiva no intervalo fechado [1,2]. Em seguida, calcule a área abaixo do gráfico de f no intervalo [1,2].

Passo 1

O enunciado trata de uma função racional
f(x)=x^2+13x - x^2
e pede: (i) o domínio de f; (ii) mostrar que f é contínua e positiva em [1,2]; (iii) calcular a área sob o gráfico de f no intervalo [1,2]. O conteúdo envolve domínio de função, continuidade de quociente de polinômios e cálculo de integral definida.

Passo 2

Para encontrar o domínio, impomos que o denominador seja diferente de zero:
Logo o domínio é

Passo 3

No intervalo [1,2] temos x>0 e 3-x>1>0, logo
3x - x^2=x(3-x)>0,
enquanto o numerador x^2+1>0 para todo x. Assim f é quociente de polinômios sem zeros do denominador em [1,2], o que garante continuidade, e além disso f(x)>0 em todo [1,2].

Passo 4

A área sob o gráfico é
integral1^2f(x),dx = integral1^2x^2+13x - x^2,dx
Fazemos divisão polinomial para simplificar o integrando. Procuramos constantes C,Dx+E tais que
x^2+1 =C,(3x - x^2) + (Dx+E),
o que leva a C=-1 e Dx+E=3x+1. Assim
x^2+13x - x^2 =-1 + 3x+1x(3-x)
Em seguida decompomos em frações simples: existem A,B tais que
3x+1x(3-x) =Ax + B3-x
Multiplicando por x(3-x) obtém-se
3x+1 = A(3-x) + Bx = 3A + (B - A)x
e, comparando coeficientes, 3 = B - A e 1=3A, daí A=tfrac13, B=tfrac103. Logo
f(x) =-1 + 13x + 103(3-x)

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral f(x),dx =integrall(-1 + tfrac13x + tfrac103(3-x)r)dx =-x + tfrac13ln|x| - tfrac103ln|3-x| + C
Avaliação de 1 a 2:
l[-x + tfrac13ln x - tfrac103ln(3-x)r]1^2 =l(-2 + tfrac13ln2r) -l(-1 - tfrac103ln2r) =-1 + tfrac113ln2

Resposta

Domínio: Rsetminus0,3.
A função é contínua e positiva em [1,2].
A área abaixo do gráfico de f em [1,2] é
113ln 2 ;-;1

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