Determine o domínio da função racional
e mostre que
é uma função contínua e positiva no intervalo fechado
. Em seguida, calcule a área abaixo do gráfico de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado trata de uma função racional
e pede: (i) o domínio de
; (ii) mostrar que
é contínua e positiva em
; (iii) calcular a área sob o gráfico de
no intervalo
. O conteúdo envolve domínio de função, continuidade de quociente de polinômios e cálculo de integral definida.
Passo 2
Para encontrar o domínio, impomos que o denominador seja diferente de zero:
Logo o domínio é
Passo 3
No intervalo
temos
e
, logo
enquanto o numerador
para todo
. Assim
é quociente de polinômios sem zeros do denominador em
, o que garante continuidade, e além disso
em todo
.
Passo 4
A área sob o gráfico é
Fazemos divisão polinomial para simplificar o integrando. Procuramos constantes
tais que
o que leva a
e
. Assim
Em seguida decompomos em frações simples: existem
tais que
Multiplicando por
obtém-se
e, comparando coeficientes,
e
, daí
,
. Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Avaliação de
a
:
Resposta
Domínio:
.
A função é contínua e positiva em .
A área abaixo do gráfico de em
é
A função é contínua e positiva em
A área abaixo do gráfico de