[2 p] Calcule a integral indefinida:
integral x^2raiz9-25 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2raiz9-25x^2,dx
O conteúdo principal aqui é a substituição trigonométrica para integrais do tipo raiza^2-b^2x^2. Vamos usar a mudança
x=35sintheta.

Passo 2

Fazendo
x=35sintheta implica
dx=35costheta,dtheta
e
raiz9-25x^2 =raiz9-25l(tfrac35sinthetar)^2 =raiz9-9sin^2theta =3costheta

Passo 3

Substituindo tudo na integral temos
integral x^2raiz9-25x^2,dx = integral l(925sin^2thetar)3costheta ;cdot;35costheta,dtheta = 925cdot35integral sin^2theta,costheta3costheta,dtheta = 9125integral sin^2theta,dtheta

Passo 4

Para resolver integral sin^2theta,dtheta usamos a identidade
sin^2theta = 1-cos(2theta)2.
Então
integral sin^2theta,dtheta = 12integral (1-cos(2theta)),dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C
Multiplicando por tfrac9125 obtemos
9125l(theta2-sin(2theta)4r) = 9theta250 - 9sin(2theta)500 + C

Passo 5

Volta à variável x. Primeiro note que
sin(2theta)=2sinthetacostheta,
sintheta=5x3,
costheta=raiz9-25x^23
e
theta=arcsin!l(tfrac5x3r).
Logo
9500sin(2theta) = 9500cdot 2sinthetacostheta = 9500cdot 2cdot5x3cdotraiz9-25x^23 = 5xraiz9-25x^2250 = xraiz9-25x^250

Resposta

boxed integral x^2raiz9-25x^2,dx = 9250,arcsin!l(tfrac5x3r) - xraiz9-25x^250 + C

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