Calcule a integral definida: integral0^2 x e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 x e^2x,dx
Aqui vamos usar integração por partes, cuja fórmula diz que, para funções u(x) e v(x),
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = e^2x,dx
Então
du = dx, v = integral e^2x,dx = 12e^2x
Aplicando a fórmula de partes:
integral x e^2x,dx = xcdot12e^2x - integral 12e^2x,dx

Passo 3

Calculamos a integral que sobra:
integral 12e^2x,dx = 12cdot12e^2x = 14e^2x
Assim a primitiva fica
integral x e^2x,dx = x2e^2x - 14e^2x + C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 2:
[x2e^2x - 14e^2x]0^2 = l(22e^4 - 14e^4r) - l(02e^0 - 14e^0r)

Passo 5

No ponto x=2 temos
22e^4 - 14e^4 = e^4 - 14e^4 = 34e^4,
e em x=0 fica
0 - 14 = -14
Portanto a diferença é
34e^4 - l(-tfrac14r) = 3e^4 + 14

Resposta

integral0^2 x e^2x,dx = 3e^4 + 14

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