Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
com condições iniciais
e
usando a transformada de Laplace. O conteúdo principal é a transformada de Laplace de derivadas, a propriedade da linearidade e a tabela básica de transformadas (em especial
).
Passo 2
Aplicamos
em ambos os lados:
Passo 3
Pelas fórmulas de derivadas temos
e
Passo 4
Reorganizando em torno de
:
Passo 5
Multiplicando por
e isolando
, obtemos
logo
Passo 6
Para inverter, fazemos decomposição:
Passo 7
Usando as transformadas inversas conhecidas:
, vem
Passo 8
Simplificando,