Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime+2 y^prime+y=4 e^-t ; y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear de segunda ordem y'' + 2y' + y = 4e^-t com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1 usando a transformada de Laplace. O conteúdo principal é a transformada de Laplace de derivadas, a propriedade da linearidade e a tabela básica de transformadas (em especial Le^-t=1/(s+1)).

Passo 2

Aplicamos L em ambos os lados:
Ly'' + 2,Ly' + Ly = 4,Le^-t

Passo 3

Pelas fórmulas de derivadas temos
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0),
e Ly=Y(s). Substituindo e usando y(0)=2,;y'(0)=1 e Le^-t=1/(s+1), fica
(s^2Y - 2s -1) + 2(sY -2) + Y = 41s+1

Passo 4

Reorganizando em torno de Y(s):
(s^2+2s+1)Y(s) - (2s+5) = 4s+1

Passo 5

Multiplicando por (s+1) e isolando Y(s), obtemos
(s+1)^3Y(s) = 2s^2 + 7s + 9
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Y(s) = 2s^2 +7s +9(s+1)^3

Passo 6

Para inverter, fazemos decomposição:
2s^2+7s+9(s+1)^3 = 2s+1 + 3(s+1)^2 + 4(s+1)^3

Passo 7

Usando as transformadas inversas conhecidas: L^-11/(s+1)=e^-t,;L^-11/(s+1)^2=t e^-t,;L^-11/(s+1)^3=t^2 e^-t/2, vem
y(t) = 2e^-t + 3,t e^-t + 4t^22e^-t

Passo 8

Simplificando,
y(t) = e^-tl(2 + 3t + 2t^2r)

Resposta

y(t) = e^-tl(2 + 3t + 2t^2r)

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