Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime-7 y^prime=-3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 7y' = -3
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo constante. Para aplicar variação de parâmetros, primeiro resolvemos a equação homogênea associada.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 7y' = 0
Montamos a equação característica
r^2 - 7r = 0 Longrightarrow r(r - 7)=0 ;Rightarrow;r=0,,7
Duas soluções independentes são
y1(x) = 1, y2(x) = e^7x
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 + C2 e^7x

Passo 3

Na variação de parâmetros buscamos
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)
com as condições
u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = f(x),
onde f(x)=-3. Precisamos também do Wronskiano
W = y1 & y2 y1'& y2' =1cdot(7e^7x) - 0cdot e^7x =7e^7x

Passo 4

As fórmulas gerais são
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W
Substituindo f(x)=-3, y1=1, y2=e^7x e W=7e^7x, obtemos
u1' = --3;e^7x7e^7x = 37, u2' = -3cdot17e^7x = -37e^-7x

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
u1(x) = integral 37,dx = 37,x, u2(x) = integral l(-tfrac37e^-7xr),dx = -tfrac37cdotl(-tfrac17e^-7xr) = 349e^-7x
Assim uma solução particular é
yp(x) = u1,y1 + u2,y2 = 37xcdot1 + 349e^-7x,e^7x = 37x + 349

Passo 6

A solução geral da EDO original é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2,e^7x + 37x + 349

Resposta

y(x) = C1 + C2e^7x + 37x + 349,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

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