Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo constante. Para aplicar variação de parâmetros, primeiro resolvemos a equação homogênea associada.
Passo 2
A equação homogênea é
Montamos a equação característica
Duas soluções independentes são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Na variação de parâmetros buscamos
com as condições
onde . Precisamos também do Wronskiano
Passo 4
As fórmulas gerais são
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W
Substituindo f(x)=-3, y1=1, y2=e^7x e W=7e^7x, obtemos