Calcule a integral definida: integral0^2 x^2 3^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 2 de x²·3^x dx. O conteúdo envolvido é integração de funções da forma xn·ax, que normalmente resolvemos por partes.

Passo 2

Para achar a antiderivada de ∫x²·3^x dx, aplicamos integração por partes escolhendo u = x² e dv = 3^x dx. Então du = 2x dx e v = 3^xln 3. Assim:
integral x^2 3^x dx = x^2 3^xln 3 - integral 2x 3^xln 3 dx = x^2 3^xln 3 - 2ln 3 integral x 3^x dx

Passo 3

Agora resolvemos integral x 3^x dx por partes outra vez. Tomamos u = x, dv = 3^x dx. Daí du = dx e v = 3^xln 3. Logo:
integral x 3^x dx = x 3^xln 3 - integral 3^xln 3 dx = x 3^xln 3 - 1ln 3 integral 3^x dx = x 3^xln 3 - 3^x(ln 3)^2

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta em ∫x²·3^x dx, obtemos a antiderivada geral:
F(x)=integral x^2 3^x dx=x^2 3^xln 3-2ln 3l(x 3^xln 3-3^x(ln 3)^2r)=3^xl(x^2ln 3-2x(ln 3)^2+2(ln 3)^3r)

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 2:
F(2)=3^2l(4ln 3-4(ln 3)^2+2(ln 3)^3r)=9l(4ln 3-4(ln 3)^2+2(ln 3)^3r),
F(0)=3^0l(0-0+2(ln 3)^3r)=2(ln 3)^3Subtraindo F(2)-F(0) e simplificando, obtemos
36ln 3-36(ln 3)^2+16(ln 3)^3

Resposta

36ln 3-36(ln 3)^2+16(ln 3)^3

Exercícios relacionados