Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação linear de segunda ordem não homogênea
usando o método de variação de parâmetros. Para isso precisamos obter a solução complementar da equação homogênea associada e depois aplicar a técnica de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Determinamos primeiro a solução complementar resolvendo
O polinômio característico é
cuja raízes são
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onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
No método de variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
impondo as condições auxiliares
de modo a simplificar os cálculos de e .
Passo 4
Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais e :
As fórmulas padrão dão
u1' = -e^3x,y2W =-e^3xe^-x-3e^x =e^x3,
u2' = e^3x,y1W =e^3xe^2x-3e^x =-e^4x3
Passo 5
Integramos para obter u1 e u2:
u1(x)=integral e^x3,dx=e^x3,
u2(x)=integral -e^4x3,dx=-e^4x12
Substituindo em yp:
yp =e^x3e^2x -e^4x12e^-x =e^3x3-e^3x12 =e^3x4
Passo 6
A solução geral da equação original é a soma da complementar com a particular: