Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime-y^prime-2 y=e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear de segunda ordem não homogênea
y'' - y' - 2y = e^3x
usando o método de variação de parâmetros. Para isso precisamos obter a solução complementar da equação homogênea associada e depois aplicar a técnica de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Determinamos primeiro a solução complementar yc resolvendo
y'' - y' - 2y = 0
O polinômio característico é
r^2 - r - 2 = 0,
cuja raízes são
r = 2, r = -1
Logo
yc = C1 e^2x + C2 e^-x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

No método de variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
yp = u1(x),e^2x + u2(x),e^-x,
impondo as condições auxiliares
u1'e^2x + u2'e^-x = 0,
2,u1'e^2x - u2'e^-x = e^3x,
de modo a simplificar os cálculos de u1 e u2.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais y1=e^2x e y2=e^-x:
W = det e^2x & e^-x 2e^2x & -e^-x = -e^2xe^-x -2e^2xe^-x = -3e^x
As fórmulas padrão dão
u1' = -e^3x,y2W =-e^3xe^-x-3e^x =e^x3,
u2' = e^3x,y1W =e^3xe^2x-3e^x =-e^4x3

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x)=integral e^x3,dx=e^x3,
u2(x)=integral -e^4x3,dx=-e^4x12
Substituindo em yp:
yp =e^x3e^2x -e^4x12e^-x =e^3x3-e^3x12 =e^3x4

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da complementar com a particular:
y(x)=yc+yp =C1e^2x+C2e^-x+e^3x4

Resposta

boxedy(x)=C1e^2x+C2e^-x+e^3x4

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