Calcule a integral definida:
integral-1^0 8 x(x^2+2 x+2)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 8x(x^2 + 2x + 2)^2 no intervalo de -1 a 0. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente a substituição.

Passo 2

Vamos começar identificando uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador x^2 + 2x + 2 , podemos completar o quadrado para facilitar a integração.
Completemos o quadrado:
x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = x + 1
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 1 Rightarrow dx = du

Passo 4

Vamos reescrever os limites de integração em termos de u . Quando x = -1 :
u = -1 + 1 = 0
Quando x = 0 :
u = 0 + 1 = 1
Substituindo na integral:
integral-1^0 8x(x^2 + 2x + 2)^2 , dx = integral0^1 8(u - 1)(u^2 + 1)^2 , du

Passo 5

Agora, vamos dividir a fração:
8(u - 1)(u^2 + 1)^2 = 8u(u^2 + 1)^2 - 8(u^2 + 1)^2
Assim, a integral fica:
8 integral0^1 u(u^2 + 1)^2 , du - 8 integral0^1 1(u^2 + 1)^2 , du

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral: integral u(u^2 + 1)^2 , du
Para essa, fazemos uma substituição:
v = u^2 + 1 Rightarrow dv = 2u , du Rightarrow u , du = dv2
A integral vira:
12 integral v^-2 , dv = 12 ( -v^-1 ) + C = -12v + C = -12(u^2 + 1) + C
Segunda integral: integral 1(u^2 + 1)^2 , du
Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando a fórmula:
integral 1(u^2 + 1)^2 , du = u2(u^2 + 1) + 12 tan^-1(u) + C

Passo 7

Agora, substituímos as soluções encontradas na expressão original:
8 ( -12(u^2 + 1) ) g|0^1 - 8 ( u2(u^2 + 1) + 12 tan^-1(u) ) g|0^1
Simplificando:
-4 ( 1u^2 + 1 ) g|0^1 - 4 ( uu^2 + 1 + tan^-1(u) ) g|0^1

Passo 8

Agora, calculamos nos limites de integração.
Para u = 1 :
-4 ( 11 + 1 ) = -4 ( 12 ) = -2
-4 ( 11 + 1 + tan^-1(1) ) = -4 ( 12 + pi4 ) = -2 - pi
Para u = 0 :
-4 ( 10 + 1 ) = -4
-4 ( 00 + 1 + tan^-1(0) ) = 0

Passo 9

Subtraindo os valores nos limites:
(-2) - (-4) = 2
(-2 - pi) - 0 = -2 - pi
Somando tudo:
2 + (-2 - pi) = -pi

Resposta

A integral definida integral-1^0 8x(x^2 + 2x + 2)^2 , dx é igual a -pi.

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