Calcule a integral definida:
integral0^1 11+raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcularmos:
integral0^1 11+raiz[3]x , dx
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral definida. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição. Não se preocupe, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Perceba que temos raiz[3]x, que é o mesmo que x^1/3. Então, a integral fica:
integral0^1 11 + x^1/3 , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = x^1/3

Passo 3

Com u = x^1/3, precisamos expressar dx em termos de du. Para isso, derivamos ambos os lados em relação a x:
dudx = 13 x^-2/3 implies dx = 3x^2/3 , du
Mas como u = x^1/3, sabemos que x = u^3. Substituindo isso na expressão para dx:
dx = 3u^2 , du

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral0^1 11 + u cdot 3u^2 , du = 3 integral0^1 u^21 + u , du
Vamos simplificar a fração u^21 + u. Podemos fazer uma divisão simples:
u^21 + u = u - u1 + u
Então, a integral fica:
3 integral0^1 ( u - u1 + u ) , du

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
3 ( integral0^1 u , du - integral0^1 u1 + u , du )
Primeiro, integramos u:
integral u , du = u^22
Segundo, para integral u1 + u , du, fazemos uma nova substituição: seja v = 1 + u, então dv = du. A integral se torna:
integral v - 1v , dv = integral 1 , dv - integral 1v , dv = v - ln|v| + C = (1 + u) - ln(1 + u) + C

Passo 6

Agora, substituímos de volta e aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
3 [ ( u^22 ) - ( (1 + u) - ln(1 + u) ) ]0^1
Calculando em u = 1:
1^22 - (1 + 1) + ln(2) = 12 - 2 + ln(2) = -32 + ln(2)
E em u = 0:
0^22 - (1 + 0) + ln(1) = 0 - 1 + 0 = -1
Subtraindo:
( -32 + ln(2) ) - (-1) = -32 + ln(2) + 1 = -12 + ln(2)
Multiplicando por 3:
3 ( -12 + ln(2) ) = -32 + 3ln(2)

Resposta

O valor da integral definida é:
-32 + 3,ln(2)

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