Calcule a integral definida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcularmos:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral definida. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição. Não se preocupe, vou te explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Perceba que temos
, que é o mesmo que
. Então, a integral fica:
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Passo 3
Com
, precisamos expressar
em termos de
. Para isso, derivamos ambos os lados em relação a
:
Mas como
, sabemos que
. Substituindo isso na expressão para
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Vamos simplificar a fração
. Podemos fazer uma divisão simples:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Primeiro, integramos
:
Segundo, para
, fazemos uma nova substituição: seja
, então
. A integral se torna:
Passo 6
Agora, substituímos de volta e aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando em
:
E em
:
Subtraindo:
Multiplicando por 3:
Resposta
O valor da integral definida é: