A integral imprópria converge ou diverge?
integral0^1 sen xx d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^1sin xx,dx
O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias com singularidade no limite de integração. Vamos verificar o comportamento de sin x/x quando xto0^+ e usar um critério de comparação.

Passo 2

Analisamos o limite da função no ponto singular x=0. Pela expansão em série ou pelo limite clássico, temos
limxto0sin xx=1,
logo sin x/x não diverge para infinito, aproximando–se de 1.

Passo 3

Como sin x é positivo em (0,1], temos
0 <= sin xx<= 1 para todo xin(0,1]
E sabemos que
integral0^11,dx = 1 < infty
Pelo critério de comparação (função limitada por uma integrável), a integral dada também converge.

Resposta

A integral
integral0^1sin xx,dx
converge.

Exercícios relacionados