A integral imprópria converge ou diverge?
integral0^4 -ln xraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^4-ln xraizx,dx
O ponto crítico é x=0, pois ali ln xto-infty e raizxto0. Vamos usar a ideia de separar em duas integrais e aplicar uma mudança de variável para testar o comportamento em 0.

Passo 2

Separemos
integral0^4-ln xraizx,dx =integral0^1-ln xraizx,dx +integral1^4-ln xraizx,dx
A segunda integral é sobre um intervalo onde o integrando é contínuo em [1,4], logo
integral1^4-ln xraizx,dx<infty
Resta analisar
integral0^1-ln xraizx,dx

Passo 3

Para estudar integral0^1-ln xraizx,dx, faça a substituição
x=t^2, dx=2t,dt, raizx=t, -ln x=-2ln t
Então
-ln xraizx,dx =-2ln ttcdot 2t,dt =-4ln t,dt,
e o limite xto0^+ corresponde a tto0^+. Assim
integral0^1-ln xraizx,dx =-4integral0^1ln t,dt

Passo 4

Sabemos que
integral0^1ln t,dt =l[tln t - tr]0^1 =(1cdot 0-1)-limtto0^+(tln t - t) =-1-0=-1
Logo
integral0^1-ln xraizx,dx =-4cdot(-1)=4<infty
Como ambas as partes são finitas, a integral original é finita.

Resposta

A integral converge.

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