Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
lim x 0 x^2 ln (sen(1 / x)+4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão x^2 ln(sin(1/x) + 4) . Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar saber como se comporta o seno quando o argumento cresce sem limites e como o logaritmo se comporta com isso.

Passo 2

Vamos analisar a função dentro do logaritmo: sin(1/x) + 4 . Sabemos que sin de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Então, sin(1/x) vai oscilar entre -1 e 1 conforme x se aproxima de 0.

Passo 3

Portanto, sin(1/x) + 4 vai oscilar entre 4 - 1 = 3 e 4 + 1 = 5 . Isso significa que o argumento do logaritmo está sempre entre 3 e 5 quando x está próximo de 0.

Passo 4

Agora, vamos olhar para ln(sin(1/x) + 4) . Como o logaritmo natural é uma função contínua, e seu argumento está sempre entre 3 e 5, podemos dizer que ln(sin(1/x) + 4) também está entre ln(3) e ln(5) .

Passo 5

Então, nossa expressão original x^2 ln(sin(1/x) + 4) está entre x^2 ln(3) e x^2 ln(5) . Sabemos que x^2 tende a 0 quando x tende a 0, independente de estar multiplicando uma constante.

Passo 6

Assim, tanto x^2 ln(3) quanto x^2 ln(5) tendem a 0 quando x se aproxima de 0. Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aproximação), se uma função está “espremida” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite.

Passo 7

Aplicando esse teorema, concluímos que limx 0 x^2 ln(sin(1/x) + 4) = 0 .

Resposta

O limite é igual a 0.

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