Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar saber como se comporta o seno quando o argumento cresce sem limites e como o logaritmo se comporta com isso.
Passo 2
Vamos analisar a função dentro do logaritmo:
. Sabemos que
de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Então,
vai oscilar entre -1 e 1 conforme
se aproxima de 0.
Passo 3
Portanto,
vai oscilar entre
e
. Isso significa que o argumento do logaritmo está sempre entre 3 e 5 quando
está próximo de 0.
Passo 4
Agora, vamos olhar para
. Como o logaritmo natural é uma função contínua, e seu argumento está sempre entre 3 e 5, podemos dizer que
também está entre
e
.
Passo 5
Então, nossa expressão original
está entre
e
. Sabemos que
tende a 0 quando
tende a 0, independente de estar multiplicando uma constante.
Passo 6
Assim, tanto
quanto
tendem a 0 quando
se aproxima de 0. Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aproximação), se uma função está “espremida” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite.
Passo 7
Aplicando esse teorema, concluímos que
.
Resposta
O limite é igual a 0.