Calcule a integral definida:
integral0^e d xx+e

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^e dxx+e. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar: 1x+e. Essa é uma função racional, e sabemos que integrais desse tipo geralmente envolvem logaritmos. A regra básica para integrar 1x+a é usar o logaritmo natural.

Passo 3

A regra de integração que vamos aplicar é:
integral dxx+a = ln|x+a| + C
onde a é uma constante e C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral, temos:
integral dxx+e = ln|x+e| + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante C. Vamos então avaliar essa expressão nos limites de integração, que são de 0 a e.

Passo 5

Agora, substituímos os limites na expressão integrada:
ln(x+e) |0^e = ln(e+e) - ln(0+e)
Simplificando:
ln(2e) - ln(e)

Passo 6

Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que ln(ab) = ln(a) + ln(b) e ln(ab) = ln(a) - ln(b). Aplicando isso:
ln(2e) - ln(e) = ln(2ee) = ln(2)

Resposta

O valor da integral definida é ln(2).

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