Justifique por que o Teorema do Valor Intermediário não pode ser aplicado à função:
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes:
f(x)= 2 x-2, & se 1 <= x<2 3, & se 2 <= x <= 4
A pergunta é: por que não dá pra usar o Teorema do Valor Intermediário nessa função? Pra responder isso, a gente vai precisar entender o que é esse teorema e ver se ele se aplica à função que a gente tem aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Intermediário. Basicamente, ele afirma que se uma função é contínua num intervalo fechado [a, b], então para qualquer valor entre f(a) e f(b), existe pelo menos um ponto c em [a, b] onde f(c) é igual a esse valor. Ou seja, a função não tem “saltos” nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa função. Ela é definida em dois pedaços:
De 1 até 2 (não incluindo o 2), a função é f(x) = 2x - 2 .
De 2 até 4, a função é constante: f(x) = 3 .
Passo 4
Vamos ver se a função é contínua no intervalo [1, 4]. Para isso, precisamos verificar se não tem nenhum “salto” ou “interrupção” na função. Olhando para a função, percebemos que no ponto x = 2, a função muda de 2x - 2 para 3.
Passo 5
Vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita:
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda (x → 2⁻), f(x) = 2x - 2 = 2(2) - 2 = 2 .
Quando x se aproxima de 2 pela direita (x → 2⁺), f(x) = 3 .
Passo 6
Vemos que o limite pela esquerda é 2 e o da direita é 3. Como esses limites são diferentes, a função tem um “salto” em x = 2. Ou seja, a função não é contínua nesse ponto.
Passo 7
Como o Teorema do Valor Intermediário exige que a função seja contínua em todo o intervalo considerado, e a nossa função não é contínua em x = 2, não podemos aplicar o teorema nessa situação.
Resposta
O Teorema do Valor Intermediário não pode ser aplicado à função porque ela não é contínua no intervalo [1, 4], apresentando um salto em x = 2.