Calcule a integral definida.
48. integral0^pi / 4 x sen 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/4 x ,sin(2x),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos o produto de x por sin(2x).

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes:
u = x e dv = sin(2x),dx.
Então
du = dx, v = integral sin(2x),dx = -12cos(2x)

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
temos a primitiva
integral xsin(2x),dx = x!l(-tfrac12cos(2x)r) - integral l(-tfrac12cos(2x)r),dx = -x2cos(2x) + 12integral cos(2x),dx
Como
integral cos(2x),dx = 12sin(2x),
a primitiva completa é
F(x) = -x2cos(2x) + 14sin(2x)

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a pi/4:
Fl(tfracpi4r) = -pi/42cosl(tfracpi2r) + 14sinl(tfracpi2r) = 0 + 14cdot1 = 14,
F(0) = -0cdotcos(0) + 14sin(0) = 0
Logo,
integral0^pi/4 xsin(2x),dx = Fl(tfracpi4r) - F(0) = 14

Resposta

14

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