Calcule a integral usando integração por partes, substituição, ou ambos, se necessário.
45. integral ln (ln x) ln x d xx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral ln(ln x),ln xx,dx
usando técnicas de substituição e/ou integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição t = ln x. Então
dt = dxx
e ln(ln x)=ln t. A integral fica
integral ln(ln x),ln xx,dx = integral t,ln t;dt

Passo 3

Agora usamos integração por partes em
integral t,ln t;dt
Escolhemos
u = ln t, dv = t,dt
de modo que
du = dtt, v = t^22
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integral t,ln t;dt = t^22,ln t - integral t^22,dtt = t^22,ln t - 12integral t,dt = t^22,ln t - t^24

Passo 4

Voltando à variável x com t=ln x, obtemos
integral ln(ln x),ln xx,dx = (ln x)^22,ln(ln x) - (ln x)^24 + C

Resposta

boxed (ln x)^22,ln(ln x) - (ln x)^24 + C

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