Resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que a gente tem aqui:
. Basicamente, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do primeiro grau. O que vamos precisar para resolver isso é entender um pouquinho sobre como integrar funções e separar variáveis, que são técnicas fundamentais em EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a equação. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, a equação fica:
Mas parece que temos duas funções,
e
. Para resolver isso, vamos assumir que
é uma função de
, ou seja,
. Assim, podemos usar a regra da cadeia para reescrever a derivada.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que:
Neste caso, temos:
Substituindo
pela expressão da equação original:
Passo 4
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Vamos reorganizar a equação para isolar
de um lado e
do outro:
No entanto, ainda está um pouco complicado. Vamos simplificar assumindo que
é uma função linear de
, ou seja,
, onde
e
são constantes. Isso simplifica a integração.
Passo 5
Assumindo
, temos que
. Substituindo na equação original:
Agora, podemos resolver para
:
Tomando a raiz oitava dos dois lados:
Resposta
A solução da EDO é: