Resolva as EDOs abaixo:
f^prime(x)=x y^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que a gente tem aqui: f^prime(x) = x y^8 . Basicamente, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do primeiro grau. O que vamos precisar para resolver isso é entender um pouquinho sobre como integrar funções e separar variáveis, que são técnicas fundamentais em EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a equação. Aqui, f^prime(x) representa a derivada de f em relação a x , ou seja, dfdx . Então, a equação fica:
dfdx = x y^8
Mas parece que temos duas funções, f(x) e y(x) . Para resolver isso, vamos assumir que y é uma função de f , ou seja, y = y(f) . Assim, podemos usar a regra da cadeia para reescrever a derivada.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que:
dydx = dydf cdot dfdx
Neste caso, temos:
dydx = dydf cdot f^prime(x)
Substituindo f^prime(x) pela expressão da equação original:
dydx = dydf cdot x y^8

Passo 4

Agora, queremos separar as variáveis y e f . Vamos reorganizar a equação para isolar dy de um lado e df do outro:
dyy^8 = x f^prime(x) df
No entanto, ainda está um pouco complicado. Vamos simplificar assumindo que f é uma função linear de x , ou seja, f(x) = kx + c , onde k e c são constantes. Isso simplifica a integração.

Passo 5

Assumindo f(x) = kx + c , temos que f^prime(x) = k . Substituindo na equação original:
k = x y^8
Agora, podemos resolver para y :
y^8 = kx
Tomando a raiz oitava dos dois lados:
y = ( kx )^18

Resposta

A solução da EDO é:
y(x) = ( kx )^18

Exercícios relacionados