Calcule a integral definida.
50. integral1^e ln x d xx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^eln xx^2,dx. O conteúdo envolvido é integração por partes aplicada em uma integral definida.

Passo 2

Para usar a regra de integração por partes, lembramos que integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhemos:
u = ln x, dv = x^-2,dx

Passo 3

Precisamos calcular du e v:
du = 1x,dx,
v = integral x^-2,dx = -x^-1

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral ln xx^2,dx = u,v - integral v,du = -ln xx - integrall(-x^-1r)cdot1x,dx = -ln xx + integral x^-2,dx

Passo 5

Agora, calculemos integral x^-2,dx:
integral x^-2,dx = -x^-1
Logo, uma primitiva geral é
F(x) = -ln xx - 1x + C

Passo 6

Avalie nos limites de 1 a e:
F(e)-F(1) = l(-tfracln ee-tfrac1er)-l(-tfracln 11-tfrac11r) = l(-tfrac1e-tfrac1er)-l(0-1r) = -tfrac2e+1

Resposta

1 - tfrac2e

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