Calcule a integral utilizando uma substituição trigonométrica adequada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
Usando substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente integrais e substituições trigonométricas. Vamos precisar manipular a expressão algébrica e aplicar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão quadrática do denominador:
. Isso pode ser completado o quadrado:
Com isso, a integral fica mais fácil de lidar.
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
. Por quê? Porque isso transforma
em
, que é uma identidade trigonométrica útil. Então:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Expandindo o numerador:
E o denominador simplifica para
. Então, a integral fica:
Passo 6
Lembrando que
, podemos reescrever a integral como:
Vamos simplificar cada termo usando identidades trigonométricas.
Passo 7
Sabendo que
, temos:
E:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo por termo:
- Para
, usamos a identidade :
- Para
, reconhecemos que é igual a :
- Para
, usamos :
Então, a integral fica:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, nossa integral é:
Passo 10
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a antiderivada é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então
. Também precisamos expressar
e
em termos de
.
Usando identidades trigonométricas:
Substituindo tudo de volta, temos a expressão final da integral.
Resposta
A integral vale:
Onde
é a constante de integração.