Calcule a integral utilizando uma substituição trigonométrica adequada
integral x^2+1(x^2-2 x+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
integral x^2+1(x^2-2 x+2)^2 d x
Usando substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente integrais e substituições trigonométricas. Vamos precisar manipular a expressão algébrica e aplicar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão quadrática do denominador: x^2 - 2x + 2. Isso pode ser completado o quadrado:
x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1
Com isso, a integral fica mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar x - 1 = tan theta. Por quê? Porque isso transforma (x - 1)^2 + 1 em tan^2 theta + 1 = sec^2 theta, que é uma identidade trigonométrica útil. Então:
x = 1 + tan theta e dx = sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral (1 + tan theta)^2 + 1(sec^2 theta)^2 cdot sec^2 theta , dtheta
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Expandindo o numerador:
(1 + tan theta)^2 + 1 = 1 + 2 tan theta + tan^2 theta + 1 = 2 + 2 tan theta + tan^2 theta
E o denominador simplifica para sec^4 theta. Então, a integral fica:
integral 2 + 2 tan theta + tan^2 thetasec^4 theta cdot sec^2 theta , dtheta = integral 2 + 2 tan theta + tan^2 thetasec^2 theta , dtheta

Passo 6

Lembrando que 1sec^2 theta = cos^2 theta, podemos reescrever a integral como:
integral (2 cos^2 theta + 2 tan theta cos^2 theta + tan^2 theta cos^2 theta) dtheta
Vamos simplificar cada termo usando identidades trigonométricas.

Passo 7

Sabendo que tan theta = sin thetacos theta, temos:
2 cos^2 theta + 2 cdot sin thetacos theta cdot cos^2 theta = 2 cos^2 theta + 2 sin theta cos theta
E:
tan^2 theta cos^2 theta = sin^2 theta
Então, a integral fica:
integral (2 cos^2 theta + 2 sin theta cos theta + sin^2 theta) dtheta

Passo 8

Vamos integrar termo por termo:
  1. Para 2 cos^2 theta, usamos a identidade cos^2 theta = 1 + cos 2theta2:
2 cos^2 theta = 1 + cos 2theta
  1. Para 2 sin theta cos theta, reconhecemos que é igual a sin 2theta:
2 sin theta cos theta = sin 2theta
  1. Para sin^2 theta, usamos sin^2 theta = 1 - cos 2theta2:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Então, a integral fica:
integral (1 + cos 2theta + sin 2theta + 1 - cos 2theta2) dtheta

Passo 9

Simplificando a expressão dentro da integral:
1 + cos 2theta + sin 2theta + 12 - cos 2theta2 = 32 + cos 2theta2 + sin 2theta
Agora, nossa integral é:
integral (32 + cos 2theta2 + sin 2theta) dtheta

Passo 10

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 32 , dtheta = 32 theta
  2. integral cos 2theta2 , dtheta = sin 2theta4
  3. integral sin 2theta , dtheta = -cos 2theta2
Então, a antiderivada é:
32 theta + sin 2theta4 - cos 2theta2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 11

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos x - 1 = tan theta, então theta = tan^-1(x - 1). Também precisamos expressar sin 2theta e cos 2theta em termos de x.
Usando identidades trigonométricas:
sin 2theta = 2(x - 1)x^2 - 2x + 2 e cos 2theta = 1 - (x - 1)^2x^2 - 2x + 2
Substituindo tudo de volta, temos a expressão final da integral.

Resposta

A integral vale:
32 tan^-1(x - 1) + (x -1)2(x^2 - 2x +2) - x -12 + C
Onde C é a constante de integração.

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