Nos problemas abaixo, determine se a equação diferencial dada é separável:
d yd x=y e^x+yx^2+2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=y,e^x+yx^2+2
e pede para verificar se ela é do tipo separável. Aqui vamos usar o conteúdo de equações diferenciais separáveis, ou seja, checar se a parte direita pode ser escrita como produto de uma função de x apenas por outra de y apenas.

Passo 2

Observe que
e^x+y=e^x,e^y,
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dydx =y,e^x+yx^2+2 =l(e^xx^2+2r),l(y,e^yr)
Aqui definimos
f(x)=e^xx^2+2, g(y)=y,e^y,
e vemos que dydx=f(x),g(y), ou seja, o lado direito é produto de função só de x por função só de y.

Passo 3

Como dydx=f(x),g(y), podemos separar variáveis escrevendo
1g(y),dy = f(x),dx Longrightarrow dyy,e^y = e^xx^2+2,dx
Isso confirma que a equação é separável.

Resposta

Sim, a equação é separável. A separação fica
dyy,e^y=e^xx^2+2,dx

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